219. Пусть α и β — корни трёхчлена x² + px + q, причём αβ = 4 и √α + √β = 3. Чему равны α и β?

Положим \(u=\sqrt{\alpha}\), \(v=\sqrt{\beta}\). Тогда \(uv=\sqrt{\alpha\beta}=2\), а \(u+v=3\).

Числа \(u\) и \(v\) являются корнями уравнения \(t^2-3t+2=0\), поскольку их сумма равна 3, а произведение — 2. Разложим: \(t^2-3t+2=(t-1)(t-2)\). Значит, \(u,v\) равны 1 и 2 в некотором порядке.

Следовательно, \(\alpha=u^2\) и \(\beta=v^2\) равны 1 и 4 в некотором порядке.

Ответ: \((\alpha,\beta)=(1,4)\) или \((4,1)\).