22. Постройте график функции $$y=\frac{x^4-10x^2+9}{(x-1)(x+3)}$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: 1. Разложим числитель на множители: $$x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2-9)(x^2-1) = (x-3)(x+3)(x-1)(x+1)$$. 2. Сократим на $$(x-1)(x+3)$$: $$y=\frac{(x-3)(x+3)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+3)}=(x-3)(x+1) = x^2-2x-3$$ при условии $$x
eq 1$$ и $$x
eq -3$$. Графиком функции является парабола с выколотыми точками. 3. Найдем вершину параболы: $$x_v = -b/2a = 2/2 = 1$$. $$y_v = 1^2 - 2*1 -3 = -4$$. Вершина параболы: (1,-4). 4. Координаты выколотых точек: - при $$x=1$$, $$y=1^2-2*1-3 = -4$$. Выколотая точка (1,-4) - является вершиной параболы. - при $$x=-3$$, $$y=(-3)^2 - 2*(-3) -3=9+6-3 = 12$$. Выколотая точка: (-3, 12). 5. Прямая y=m будет иметь одну общую точку с графиком, когда она проходит через вершину параболы или через выколотую точку. 6. Вершина параболы является выколотой точкой, но т.к. она является и вершиной параболы, то если прямая будет проходить через вершину, то будет 0 точек пересечения. 7. Таким образом, единственным вариантом является когда прямая проходит через выколотую точку (-3, 12), т.е m = 12. Исключением являются значения, когда прямая y=m касается параболы, тогда также будет 1 точка пересечения. Ответ: m = 12