Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Область определения: \(|x|-3x^2\ne0\), то есть \(x\ne0\) и \(|x|\ne1/3\). Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).
Для построения достаточно рассмотреть ветви при \(x>0\), а затем отразить их относительно оси \(Oy\). При \(0<x<1/3\): \(y=(1-3x)/(x-3x^2)=1/x\). При \(x>1/3\): \(y=(3x-1)/(x-3x^2)=-1/x\). Поэтому график состоит из ветвей \(y=1/|x|\) при \(0<|x|<1/3\) и \(y=-1/|x|\) при \(|x|>1/3\), с разрывами при \(|x|=1/3\).
Если \(k\ne0\), точка пересечения с прямой \(y=kx\) должна удовлетворять \(k=y/x\). На внутренних ветвях \(y/x=1/x^2>0\), причём для любого \(k>0\) существует допустимое \(x=\pm1/\sqrt{k}\) при достаточно подходящем знаке? Условие \(|x|<1/3\) даёт \(k>9\). На внешних ветвях \(y/x=-1/(x|x|)\), и достигаются все отрицательные значения от \(-9\) до 0, не включая \(-9\), а также значение \(k=0\) не достигается. Следовательно, при \(k>0\) и \(k>9\) пересечение есть; внутренние ветви дают его только при \(k>9\). Внешние ветви дают пересечение при \(-9<k<0\).
При \(k=9\) соответствующие точки были бы при \(|x|=1/3\), где функция не определена. При \(k=-9\) также требовалось бы \(|x|=1/3\). При \(k=0\) прямая не пересекает график, поскольку функция нигде не равна нулю (нули числителя находятся только при \(|x|=1/3\), исключённых из области определения).
Итак, пересечения есть при \(-9<k<0\) и при \(k>9\); их нет при \(k\in(-\infty,-9]\cup[0,9]\).
Ответ: \(k\le -9\) или \(0\le k\le 9\).
