22. Постройте график функции \( y = -4 - rac{x+1}{x^2+x} \). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Краткое пояснение:

Сначала упростим выражение для функции, затем построим график, найдем его асимптоты и определим, какие значения y функция не принимает.

Пошаговое решение:

1. Упрощение функции:
• Знаменатель \( x^2 + x \) можно разложить на множители: \( x(x+1) \).
• Таким образом, функция имеет вид: \( y = -4 - rac{x+1}{x(x+1)} \).
• При \( x eq -1 \) и \( x eq 0 \), мы можем сократить \( (x+1) \) в числителе и знаменателе:
• \( y = -4 - rac{1}{x} \).
• Итак, для \( x eq -1 \) и \( x eq 0 \), функция эквивалентна \( y = -4 - rac{1}{x} \).
2. Анализ функции \( y = -4 - rac{1}{x} \):
• Это гипербола, полученная из \( y = -rac{1}{x} \) путем смещения на 4 единицы вниз.
• У гиперболы \( y = -rac{1}{x} \) есть вертикальная асимптота \( x=0 \) и горизонтальная асимптота \( y=0 \).
• При смещении на 4 единицы вниз, вертикальная асимптота остается \( x=0 \), а горизонтальная асимптота становится \( y=-4 \).
3. Учет точек разрыва:
• Функция имеет разрывы при \( x=0 \) и \( x=-1 \).
• При \( x=0 \) — это вертикальная асимптота.
• При \( x=-1 \), мы имеем выколотую точку. Найдем ее y-координату, подставив \( x=-1 \) в упрощенное выражение \( y = -4 - rac{1}{x} \):
• \( y = -4 - rac{1}{-1} = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3 \).
• Таким образом, при \( x=-1 \) существует выколотая точка с координатами (-1, -3).
4. График функции:
• График представляет собой гиперболу \( y = -4 - rac{1}{x} \) с вертикальной асимптотой \( x=0 \) и горизонтальной асимптотой \( y=-4 \).
• Кроме того, на графике есть выколотая точка (-1, -3).
5. Определение значений m, при которых прямая y = m не имеет общих точек с графиком:
• Прямая \( y=m \) является горизонтальной линией.
• Эта прямая не будет иметь общих точек с графиком, если значение \( m \) равно значению горизонтальной асимптоты или координате выколотой точки.
• Горизонтальная асимптота: \( y=-4 \).
• Координата выколотой точки по оси Y: \( y=-3 \).
• Следовательно, прямая \( y = -4 \) (горизонтальная асимптота) не пересекает график.
• Прямая \( y = -3 \) (через выколотую точку) также не имеет общих точек с графиком, потому что в этой точке функция не определена.

Ответ:

Значения \( m \), при которых прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек, это значения, соответствующие горизонтальной асимптоте и выколотой точке: \( m = -4 \) и \( m = -3 \).