22. Постройте график функции \(y=\frac{2x+1}{2x^2+x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим знаменатель на множители: \(2x^2+x=x(2x+1)\). Поэтому функция имеет вид \(y=\frac1x\), но при \(x\ne0\) и \(x\ne-\frac12\). Её график — гипербола \(y=\frac1x\) с выколотой точкой \((-\frac12,-2)\).

Для точек пересечения с прямой \(y=kx\) решаем уравнение исходной функции:

\(\frac{2x+1}{x(2x+1)}=kx\), где \(x\ne0,-\frac12\).

После умножения на знаменатель: \((2x+1)(1-kx^2)=0\). Корень \(x=-\frac12\) не принадлежит области определения. Остаётся уравнение \(kx^2=1\).

Если \(k\le0\), решений нет; если \(k>0\), возможны точки с абсциссами \(x=\pm\frac1{\sqrt{k}}\). Обычно это две точки. Ровно одна получается, когда одна из них совпадает с выколотой абсциссой \(-\frac12\): \(\frac1{\sqrt{k}}=\frac12\), откуда \(k=4\). Тогда точка с абсциссой \(-\frac12\) исключена, а точка с абсциссой \(\frac12\) остаётся.

Ответ: \(k=4\).