22. Постройте график функции \(y=\frac{(x-1)(x^2-5x+6)}{x-3}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne3\). Разложим квадратный трёхчлен: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Поэтому при \(x\ne3\):

\[y=\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-3}=(x-1)(x-2)=\left(x-\frac32\right)^2-\frac14.\]

График — парабола, направленная вверх, с вершиной \((3/2,-1/4)\), но точка \((3,2)\) выколота, поскольку \(x=3\) не входит в область определения.

Для \(m<-1/4\) пересечений нет; при \(m=-1/4\) прямая касается вершины и имеет одну общую точку. При \(m>-1/4\) у полной параболы две точки пересечения. Исключение точки \((3,2)\) убирает одно из этих пересечений только при \(m=2\), и тогда остаётся одна общая точка.

Ответ: \(m=-\frac14\) или \(m=2\).