22. Постройте график функции \(y=\frac{x-2}{2x-x^2}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne2\). При этих ограничениях

\(y=\frac{x-2}{x(2-x)}=-\frac1x\).

Следовательно, график — гипербола \(y=-1/x\) с выколотой точкой \((2,-1/2)\).

Точки пересечения с прямой \(y=kx\) удовлетворяют уравнению \(-1/x=kx\), где \(x\ne0,2\). Значит, \(kx^2=-1\). При \(k<0\) уравнение имеет два противоположных корня. Ровно один из них исключён из области определения только тогда, когда один корень равен 2: это даёт \(k=-1/4\). Тогда второй корень равен \(-2\) и допустим. При остальных значениях \(k\) общих точек либо две, либо ни одной.

Ответ: \(k=-\frac14\).