25. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 7:3. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади четырёхугольника KPCM.

Пусть \(B=(0,0)\), \(C=(2,0)\), а \(A=(u,v)\), где \(v>0\). Тогда \(M=(1,u? )\) — точнее, как середина \(AC\), \(M=((u+2)/2,v/2)\).

Поскольку \(BK:KM=7:3\), точка \(K\) делит отрезок \(BM\) в отношении \(7:3\), поэтому \(K=(7(u+2)/20,7v/20)\).

Точка \(P\) лежит на \(BC\), значит её вторая координата равна нулю. Из коллинеарности \(A,K,P\) получаем \(P=(7(u+2)/13,0)\). Следовательно, \(BP/BC=7/13\).

Обозначим через \(S\) площадь \(ABC\). Треугольник \(BKP\) имеет основание \(BP\), а высота из \(K\) равна \(7/10\) высоты треугольника \(ABC\). Поэтому \(S_{BKP}=\frac12\cdot\frac7{13}BC\cdot\frac7{10}h=\frac{49}{130}S\).

Для четырёхугольника \(KPCM\) вычисление по координатам (или разбиение на треугольники) даёт \(S_{KPCM}=\frac{81}{260}S\). Следовательно,

\(S_{BKP}:S_{KPCM}=\frac{49}{130}:\frac{81}{260}=98:81\).

Ответ: 98:81.