22. Постройте график функции \(y=\frac12\left(\left|\frac{x}{2,5}-\frac{2,5}{x}\right|+\frac{x}{2,5}+\frac{2,5}{x}\right)\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\). Если \(x>0\), оба выражения \(x/2.5\) и \(2.5/x\) положительны, поэтому функция равна их максимуму. Если \(x<0\), оба выражения отрицательны, и функция равна их минимуму. Получаем:

\[y=\begin{cases}\max\left(\frac{x}{2.5},\frac{2.5}{x}\right),&x>0,\\[2pt]\min\left(\frac{x}{2.5},\frac{2.5}{x}\right),&x<0.\end{cases}\]

График состоит из двух ветвей: при \(x>0\) он имеет минимум в точке \((2.5,1)\); при \(x<0\) — максимум в точке \((-2.5,-1)\). Поэтому горизонтальная прямая пересекает график ровно один раз только на уровне каждого из этих экстремумов: при \(m=1\) или \(m=-1\).

Ответ: \(m=-1\) или \(m=1\).