25. Углы при одном из оснований трапеции равны 56° и 34°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 16 и 13. Найдите основания трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия трапеции. Поэтому сумма оснований равна \(2\cdot16=32\).

Обозначим высоту трапеции через \(h\), а основания — через \(a\) и \(b\). Углы при одном основании дополняют друг друга до 90°. Горизонтальная разность оснований равна \(h(\cot56^\circ+\cot34^\circ)=2h/\sin112^\circ\). Поэтому расстояние между серединами оснований, равное 13, удовлетворяет равенству \(13^2=h^2+(h/\sin112^\circ)^2\).

Так как \(\sin112^\circ=\sin68^\circ\), а сумма углов при основании равна 90°, используем \(\cot56^\circ+\cot34^\circ=2/\sin112^\circ\). Из прямоугольных треугольников следует, что длина отрезка между серединами оснований составляет половину разности оснований; при заданных углах и длине 13 получаем разность оснований 26.

Решаем систему: \(a+b=32\), \(|a-b|=26\). Тогда основания равны \((32-26)/2=3\) и \((32+26)/2=29\).

Ответ: 3 и 29.