22. Постройте график функции y=x+2 / x^2+2x и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим функцию:

\[y = \frac{x+2}{x^2+2x}\]

Вынесем x из знаменателя:

\[y = \frac{x+2}{x(x+2)}\]

При условии, что \[x
eq -2\] и \[x
eq 0\] , мы можем сократить дробь:

\[y = \frac{1}{x}\]

Таким образом, график нашей функции – это гипербола \[y = \frac{1}{x}\] с двумя "выколотыми" точками:

• При \[x = 0\] (где знаменатель обращается в ноль, функция не определена).
• При \[x = -2\] (где мы сократили дробь, но изначально знаменатель был равен нулю).

Найдем значение y при x = -2:

\[y = \frac{1}{-2} = -0.5\]

Значит, "выколотая" точка имеет координаты (-2; -0.5).

Теперь нужно найти, при каких значениях k прямая \[y = kx\] имеет одну общую точку с графиком \[y = \frac{1}{x}\] (исключая "выколотую" точку).

Приравниваем уравнения:

\[kx = \frac{1}{x}\] \[kx^2 = 1\] \[x^2 = \frac{1}{k}\]

Чтобы уравнение имело одно решение, нам нужно, чтобы \[k > 0\] (так как \[x^2\] должно быть положительным). В этом случае \[x = \pm\sqrt{\frac{1}{k}}\] . Это два решения.

Однако, мы должны учесть "выколотую" точку (-2; -0.5).

Прямая \[y = kx\] проходит через начало координат (0;0).

Если прямая \[y = kx\] проходит через "выколотую" точку (-2; -0.5), то:

\[-0.5 = k \times (-2)\] \[k = \frac{-0.5}{-2} = 0.25\]

В этом случае, когда \[k = 0.25\] , прямая \[y = 0.25x\] будет проходить через точку (-2; -0.5). При этом, пересекаясь с \[y = \frac{1}{x}\] , она даст два решения:

\[x^2 = \frac{1}{0.25} = 4\] \[x = \pm 2\]

Одно из этих решений ( \[x = -2\] ) является "выколотой" точкой. Значит, останется только одно реальное пересечение графика с прямой \[y = \frac{1}{x}\] .

Кроме того, если \[k = 0\] , то прямая \[y = 0\] пересекает гиперболу \[y = \frac{1}{x}\] в одной точке (нет, не пересекает).

Таким образом, единственное значение k, при котором прямая \[y = kx\] имеет ровно одну общую точку с графиком исходной функции, это \[k = 0.25\] .

Ответ: k = 0.25