22. Постройте график функции y = |x²-2x-3|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Сначала построим график функции \( y = x^2 - 2x - 3 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы:

Координата \( x \) вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \).

Координата \( y \) вершины: \( y_в = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 \).

Вершина параболы находится в точке (1, -4).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс (при \( y=0 \)):

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 2 \), \( x_1 x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \).

Теперь построим график функции \( y = |x^2 - 2x - 3| \). Это означает, что та часть графика \( y = x^2 - 2x - 3 \), которая находится ниже оси абсцисс (т.е. где \( y < 0 \)), будет симметрично отражена относительно оси абсцисс.

Таким образом, график функции \( y = |x^2 - 2x - 3| \) будет иметь:

• Часть параболы \( y = x^2 - 2x - 3 \) для \( y \ge 0 \) (т.е. при \( x \nleq -1 \) и \( x \ngeq 3 \)).
• Часть параболы \( y = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3 \) для \( y < 0 \) (т.е. при \( -1 < x < 3 \)). Эта часть будет выглядеть как перевернутая парабола с вершиной в точке (1, 4).

График функции \( y = |x^2 - 2x - 3| \) будет состоять из двух "горбов", направленных вверх, с вершинами в точках \( (-1, 0) \), \( (3, 0) \) (на оси абсцисс) и \( (1, 4) \) (вверху).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \), где \( k \) — константа.

Чтобы найти наибольшее число общих точек, рассмотрим, как прямая \( y = k \) может пересекать график \( y = |x^2 - 2x - 3| \).

• Если \( k < 0 \), прямая не пересекает график (0 точек).
• Если \( k = 0 \), прямая совпадает с осью абсцисс и пересекает график в двух точках (\( x=-1 \) и \( x=3 \)) (2 точки).
• Если \( 0 < k < 4 \), прямая пересекает каждую из "горбин" графика дважды, всего 4 точки.
• Если \( k = 4 \), прямая касается вершины верхнего "горба" и пересекает другую часть графика дважды, всего 3 точки.
• Если \( k > 4 \), прямая пересекает график в двух точках.

Наибольшее число общих точек равно 4.

Ответ: 4.