22. Постройте график функции y = { x² + 6x + 7, при х ≥ -4; x + 10, при х < -4. Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

График состоит из двух частей:

1. $$y = x^2 + 6x + 7$$ при $$x ≥ -4$$. Это парабола. Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2(1)} = -3$$. $$y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$$. Вершина параболы находится в точке (-3, -2). Так как $$x_в = -3 ≥ -4$$, вершина принадлежит графику.
2. $$y = x + 10$$ при $$x < -4$$. Это прямая. При $$x = -4$$, $$y = -4 + 10 = 6$$. Эта точка (-4, 6) является началом луча, но сама точка не включается в график.

Теперь построим график. Отметим вершину параболы (-3, -2). Так как $$x ≥ -4$$, найдем значение параболы при $$x = -4$$: $$y = (-4)^2 + 6(-4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$$. Точка (-4, -1) принадлежит графику.

Прямая $$y = x + 10$$ при $$x < -4$$ начинается с точки (-4, 6) (не включая ее) и идет вверх влево.

Теперь найдем, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ пересекает график ровно в двух точках.

• Прямая $$y=m$$ является горизонтальной линией.
• Если $$m < -2$$, то прямая не пересекает график.
• Если $$m = -2$$, то прямая касается вершины параболы, пересекая график в одной точке.
• Если $$-2 < m < -1$$, то прямая пересекает график в двух точках (обе на параболе).
• Если $$m = -1$$, то прямая пересекает график в двух точках: одна на параболе (x=-4), другая на луче (x=-4, но эта точка не входит в луч). Таким образом, одна точка.
• Если $$-1 < m < 6$$, то прямая пересекает график в двух точках (обе на параболе).
• Если $$m = 6$$, то прямая пересекает график в двух точках: одна на параболе (x=-5) и одна на луче (x=-4, но эта точка не входит в луч). Так как точка (-4, 6) не включена в луч, прямая $$y=6$$ пересекает график ровно в одной точке.
• Если $$m > 6$$, то прямая пересекает график в двух точках: одна на параболе и одна на луче.

У нас есть две ветви графика: парабола (для $$x ≥ -4$$) и луч (для $$x < -4$$).

Горизонтальная прямая $$y=m$$ будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда:

• $$m$$ находится между вершиной параболы и началом луча, но не включая начало луча, т.е. $$-2 < m < 6$$.
• $$m$$ находится выше начала луча, т.е. $$m > 6$$.

Ответ: $$m ∈ (-2; 6) ∪ (6; +∞)$$