24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что углы ВВА₁ и ВАА₁ равны.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABA_1$$ и $$\triangle BAB_1$$. В этих треугольниках:

• Угол $$\angle BA_1A = 90°$$ и $$\angle AB_1B = 90°$$ (так как $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты).
• Сторона AB является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $$\triangle ABA_1$$ и $$\triangle BAB_1$$ равны по гипотенузе и острому углу (катету, если рассматривать их как прямоугольные треугольники), а точнее по гипотенузе и острому углу, так как $$\angle BAA_1 = \angle ABB_1$$ (это одно и то же), и $$\angle ABA_1 = \angle BAB_1$$ (оба равны $$\angle BAC$$ и $$\angle ABC$$ соответственно).

Из равенства треугольников $$\triangle ABA_1 = \triangle BAB_1$$ следует, что соответствующие элементы равны.

В частности, $$\angle BAA_1$$ (угол при вершине A в $$ riangle ABA_1$$) и $$\angle ABB_1$$ (угол при вершине B в $$ riangle BAB_1$$).

По условию, $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — высоты. Значит, $$AA_1 \perp BC$$ и $$BB_1 \perp AC$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle BAA_1$$ и $$\triangle ABB_1$$.

• $$ The question is: 17. В ромбе ABCD угол АВС равен 134°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС. 19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. 3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других дополнительных символов. 20. Решите уравнение x(x² + 2x + 1) = 6(x+1). 21. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. 22. Постройте график функции y= { x² + 6x + 7, при х ≥ -4 x + 10, при х < -4 Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки. 23. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=24, BF=10. 24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что углы ВВА₁ и ВАА₁ равны. 25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD. The OCR text is: --- ОГЭ 2026 Математика vk.com/formulaoge ОГЭ 2026 Математика vk.com/formulaoge Часть №2 17. В ромбе ABCD угол АВС равен 134°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. C B A D Ответ: 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АС. B C A Ответ: 19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 2) Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. 3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. В ответ запишите номера истинных высказываний без пробелов, запятых и других до- полнительных символов. Ответ: 20. Решите уравнение x(x² + 2x + 1) = 6(x+1). 21. Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоян- ной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 78 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью больше скорости первого на 7 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого ав- томобиля. 22. Постройте график функции y= { (x² + 6x + 7, при х≥ -4 x+10, при х<-4 Определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно две общие точки. 23. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке Г. Найдите АВ, если AF=24, BF=10. 24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и ВВ₁. Докажите, что углы ВВА₁ и ВАА₁ равны. 25. В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окруж- ности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD. --- The user wants the answers to the math problems in JSON format. Each answer should be a JSON object with