Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Сначала раскроем модуль, рассмотрев два случая:
Случай 1: $$x \ge 0$$
В этом случае $$|x| = x$$. Функция принимает вид:
- $$y = x(x+3) - 5$$
- $$y = x^2 + 3x - 5$$
Это парабола. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(1)} = -1.5$$. Однако, мы рассматриваем только случай $$x \ge 0$$. При $$x=0$$, $$y = 0^2 + 3(0) - 5 = -5$$.
Случай 2: $$x < 0$$
В этом случае $$|x| = -x$$. Функция принимает вид:
- $$y = -x(x+3) - 5$$
- $$y = -x^2 - 3x - 5$$
Это также парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -1.5$$.
Найдем значение y в вершине:
- $$y = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) - 5$$
- $$y = -2.25 + 4.5 - 5$$
- $$y = -2.75$$
Теперь построим график:
- Для $$x \ge 0$$, это часть параболы $$y = x^2 + 3x - 5$$. Начинается с точки (0, -5) и идёт вверх.
- Для $$x < 0$$, это часть параболы $$y = -x^2 - 3x - 5$$. Вершина находится в точке (-1.5, -2.75). При $$x=0$$, $$y = -5$$.
Анализ для определения $$m$$:
Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Чтобы эта прямая пересекала график ровно в двух точках, она должна проходить:
- Ниже вершины параболы, ветви которой направлены вниз (то есть ниже $$y = -2.75$$), но выше точки пересечения графика с осью y (которая равна -5), и также пересекать часть графика для $$x \nless 0$$.
- Через точку (0, -5).
Рассмотрим вершину параболы для $$x < 0$$, которая находится в точке (-1.5, -2.75). Если $$y = m$$ проходит через эту вершину, то будет только одна точка пересечения.
Если $$m > -2.75$$, прямая будет пересекать обе ветви параболы (для $$x < 0$$ и $$x \nless 0$$), что даст две точки пересечения.
Если $$m = -2.75$$, прямая коснется вершины параболы, где $$x = -1.5$$, и пересечет правую часть графика ($$x \nless 0$$) в двух точках. Однако, так как мы рассматриваем $$y = |x|(x+3) - 5$$, то для $$x \nless 0$$ это $$y = -x^2 - 3x - 5$$ с вершиной в (-1.5, -2.75). Для $$x \nless 0$$, $$y = x^2 + 3x - 5$$. При $$y = -2.75$$, $$x^2 + 3x - 5 = -2.75 \rightarrow x^2 + 3x - 2.25 = 0$$. Дискриминант $$D = 9 - 4(1)(-2.25) = 9+9=18$$. $$x = (-3 \text{ ± } \text{sqrt}(18))/2$$. Так как $$\text{sqrt}(18) > 3$$, одно значение $$x$$ будет положительным, другое отрицательным. То есть, если $$m = -2.75$$, мы имеем 3 точки пересечения.
Когда $$m$$ находится между значением вершины и значением в точке (0, -5), то есть $$-5 < m < -2.75$$, прямая $$y=m$$ пересечет график в двух точках.
Также, если $$m$$ находится между -5 и значением, где $$x^2+3x-5 = m$$ имеет положительный корень. Например, если $$m = 0$$, $$x^2+3x-5=0$$, $$D = 9+20=29$$, $$x=(-3+\text{sqrt}(29))/2 > 0$$. И для $$x < 0$$, $$-x^2-3x-5 = 0 \rightarrow x^2+3x+5=0$$, $$D=9-20<0$$, нет решений. Значит, при $$m=0$$ только одна точка.
Прямая $$y = m$$ будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда:
- $$m < -5$$ (пересекает обе части параболы, но только в одном месте для $$x \nless 0$$ и двух для $$x \nless 0$$).
- $$m = -5$$ (касается оси y и пересекает одну часть параболы).
- $$m > -2.75$$ (пересекает обе ветви параболы).
Правильный анализ:
Вершина левой части параболы ($$x<0$$) находится в точке (-1.5, -2.75). Значение функции в точке $$x=0$$ равно -5.
Для $$x \nless 0$$, $$y = x^2 + 3x - 5$$. Минимальное значение достигается при $$x=0$$, $$y=-5$$.
Для $$x < 0$$, $$y = -x^2 - 3x - 5$$. Вершина находится в (-1.5, -2.75). Это максимальное значение для этой части графика.
График имеет "излом" в точке (0, -5).
Чтобы было ровно две точки пересечения:
- $$m$$ должно быть больше максимального значения левой части графика (т.е. $$m > -2.75$$).
- $$m$$ должно быть меньше минимального значения правой части графика (т.е. $$m < -5$$).
- $$m$$ также может быть равным -5, тогда будет одна точка на оси Y и одна точка для $$x<0$$.
График будет иметь две общие точки, когда $$y=m$$ проходит:
- Ниже -5 (например, $$y=-6$$, пересекает обе ветви параболы).
- Выше -2.75 (например, $$y=0$$, пересекает только правую ветвь параболы).
Давайте проверим $$m=-5$$. $$y = |x|(x+3) - 5$$. Если $$m=-5$$, то $$|x|(x+3) = 0$$. Это происходит при $$x=0$$ или $$x=-3$$. Таким образом, при $$m=-5$$ есть две точки пересечения: (0, -5) и (-3, -5).
Теперь проверим $$m=-2.75$$. $$|x|(x+3) - 5 = -2.75 \rightarrow |x|(x+3) = 2.25$$.
- Если $$x \nless 0$$: $$-x(x+3) = 2.25 \rightarrow -x^2 - 3x = 2.25 \rightarrow x^2 + 3x + 2.25 = 0 \rightarrow (x+1.5)^2 = 0 \rightarrow x=-1.5$$. Одна точка.
- Если $$x \nless 0$$: $$x(x+3) = 2.25 \rightarrow x^2 + 3x - 2.25 = 0$$. $$D = 9 - 4(1)(-2.25) = 9 + 9 = 18$$. $$x = (-3 \text{ ± } \text{sqrt}(18))/2$$. Два значения $$x$$.
Таким образом, при $$m=-2.75$$ есть три точки пересечения.
Прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки с графиком, когда $$m < -5$$ или $$m = -5$$ (но это 2 точки) или $$m > -2.75$$.
Правильный ответ:
Две общие точки будут, когда $$m < -5$$ или $$m = -5$$ (так как $$x=0$$ и $$x=-3$$ дают $$y=-5$$), и когда $$m > -2.75$$.
Ответ: $$m < -5$$ или $$m > -2.75$$
