22. Постройте график функции y = |x| (x+3) -5. Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Сначала раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $$x \ge 0$$

В этом случае $$|x| = x$$. Функция принимает вид:

• $$y = x(x+3) - 5$$
• $$y = x^2 + 3x - 5$$

Это парабола. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2(1)} = -1.5$$. Однако, мы рассматриваем только случай $$x \ge 0$$. При $$x=0$$, $$y = 0^2 + 3(0) - 5 = -5$$.

Случай 2: $$x < 0$$

В этом случае $$|x| = -x$$. Функция принимает вид:

• $$y = -x(x+3) - 5$$
• $$y = -x^2 - 3x - 5$$

Это также парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -1.5$$.

Найдем значение y в вершине:

• $$y = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) - 5$$
• $$y = -2.25 + 4.5 - 5$$
• $$y = -2.75$$

Теперь построим график:

1. Для $$x \ge 0$$, это часть параболы $$y = x^2 + 3x - 5$$. Начинается с точки (0, -5) и идёт вверх.
2. Для $$x < 0$$, это часть параболы $$y = -x^2 - 3x - 5$$. Вершина находится в точке (-1.5, -2.75). При $$x=0$$, $$y = -5$$.

Анализ для определения $$m$$:

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Чтобы эта прямая пересекала график ровно в двух точках, она должна проходить:

• Ниже вершины параболы, ветви которой направлены вниз (то есть ниже $$y = -2.75$$), но выше точки пересечения графика с осью y (которая равна -5), и также пересекать часть графика для $$x less 0$$.
• Через точку (0, -5).

Рассмотрим вершину параболы для $$x < 0$$, которая находится в точке (-1.5, -2.75). Если $$y = m$$ проходит через эту вершину, то будет только одна точка пересечения.

Если $$m > -2.75$$, прямая будет пересекать обе ветви параболы (для $$x < 0$$ и $$x less 0$$), что даст две точки пересечения.

Если $$m = -2.75$$, прямая коснется вершины параболы, где $$x = -1.5$$, и пересечет правую часть графика ($$x less 0$$) в двух точках. Однако, так как мы рассматриваем $$y = |x|(x+3) - 5$$, то для $$x less 0$$ это $$y = -x^2 - 3x - 5$$ с вершиной в (-1.5, -2.75). Для $$x less 0$$, $$y = x^2 + 3x - 5$$. При $$y = -2.75$$, $$x^2 + 3x - 5 = -2.75 ightarrow x^2 + 3x - 2.25 = 0$$. Дискриминант $$D = 9 - 4(1)(-2.25) = 9+9=18$$. $$x = (-3 ext{ ± } ext{sqrt}(18))/2$$. Так как $$ ext{sqrt}(18) > 3$$, одно значение $$x$$ будет положительным, другое отрицательным. То есть, если $$m = -2.75$$, мы имеем 3 точки пересечения.

Когда $$m$$ находится между значением вершины и значением в точке (0, -5), то есть $$-5 < m < -2.75$$, прямая $$y=m$$ пересечет график в двух точках.

Также, если $$m$$ находится между -5 и значением, где $$x^2+3x-5 = m$$ имеет положительный корень. Например, если $$m = 0$$, $$x^2+3x-5=0$$, $$D = 9+20=29$$, $$x=(-3+ ext{sqrt}(29))/2 > 0$$. И для $$x < 0$$, $$-x^2-3x-5 = 0 ightarrow x^2+3x+5=0$$, $$D=9-20<0$$, нет решений. Значит, при $$m=0$$ только одна точка.

Прямая $$y = m$$ будет иметь ровно две общие точки с графиком, когда:

• $$m < -5$$ (пересекает обе части параболы, но только в одном месте для $$x less 0$$ и двух для $$x less 0$$).
• $$m = -5$$ (касается оси y и пересекает одну часть параболы).
• $$m > -2.75$$ (пересекает обе ветви параболы).

Правильный анализ:

Вершина левой части параболы ($$x<0$$) находится в точке (-1.5, -2.75). Значение функции в точке $$x=0$$ равно -5.

Для $$x less 0$$, $$y = x^2 + 3x - 5$$. Минимальное значение достигается при $$x=0$$, $$y=-5$$.

Для $$x < 0$$, $$y = -x^2 - 3x - 5$$. Вершина находится в (-1.5, -2.75). Это максимальное значение для этой части графика.

График имеет "излом" в точке (0, -5).

Чтобы было ровно две точки пересечения:

• $$m$$ должно быть больше максимального значения левой части графика (т.е. $$m > -2.75$$).
• $$m$$ должно быть меньше минимального значения правой части графика (т.е. $$m < -5$$).
• $$m$$ также может быть равным -5, тогда будет одна точка на оси Y и одна точка для $$x<0$$.

График будет иметь две общие точки, когда $$y=m$$ проходит:

• Ниже -5 (например, $$y=-6$$, пересекает обе ветви параболы).
• Выше -2.75 (например, $$y=0$$, пересекает только правую ветвь параболы).

Давайте проверим $$m=-5$$. $$y = |x|(x+3) - 5$$. Если $$m=-5$$, то $$|x|(x+3) = 0$$. Это происходит при $$x=0$$ или $$x=-3$$. Таким образом, при $$m=-5$$ есть две точки пересечения: (0, -5) и (-3, -5).

Теперь проверим $$m=-2.75$$. $$|x|(x+3) - 5 = -2.75 ightarrow |x|(x+3) = 2.25$$.

• Если $$x less 0$$: $$-x(x+3) = 2.25 ightarrow -x^2 - 3x = 2.25 ightarrow x^2 + 3x + 2.25 = 0 ightarrow (x+1.5)^2 = 0 ightarrow x=-1.5$$. Одна точка.
• Если $$x less 0$$: $$x(x+3) = 2.25 ightarrow x^2 + 3x - 2.25 = 0$$. $$D = 9 - 4(1)(-2.25) = 9 + 9 = 18$$. $$x = (-3 ext{ ± } ext{sqrt}(18))/2$$. Два значения $$x$$.

Таким образом, при $$m=-2.75$$ есть три точки пересечения.

Прямая $$y=m$$ имеет ровно две общие точки с графиком, когда $$m < -5$$ или $$m = -5$$ (но это 2 точки) или $$m > -2.75$$.

Правильный ответ:

Две общие точки будут, когда $$m < -5$$ или $$m = -5$$ (так как $$x=0$$ и $$x=-3$$ дают $$y=-5$$), и когда $$m > -2.75$$.

Ответ: $$m < -5$$ или $$m > -2.75$$