22. Тип 22 № 311559. Постройте график функции ( y = \frac{x - 2}{(\sqrt{x^2 - 2x})^2} ) и найдите все значения ( k ), при которых прямая ( y = kx ) имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Сначала упростим выражение для функции: ( y = \frac{x - 2}{(\sqrt{x^2 - 2x})^2} = \frac{x - 2}{x^2 - 2x} = \frac{x - 2}{x(x - 2)} ). Сокращая дробь, при ( x
eq 2 ) получим: ( y = \frac{1}{x} ). Также необходимо учесть условие под корнем ( x^2 - 2x > 0 \implies x(x - 2) > 0 ), что выполняется при ( x < 0 ) или ( x > 2 ). График функции ( y = \frac{1}{x} ) с выколотой точкой при ( x=2 ). Прямая ( y = kx ) пересекает график функции ( y = \frac{1}{x} ) в одной точке, когда она касается гиперболы или если она проходит через выколотую точку. Найдем точку касания. ( kx = \frac{1}{x} \implies kx^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{k} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}} ). Если подставить ( x = \frac{1}{\sqrt{k}} ) в уравнение ( y = kx ), то ( y = \sqrt{k} ). Вторая точка касания ( x = -\frac{1}{\sqrt{k}}, y = -\sqrt{k} ). Производная ( y = \frac{1}{x} ) равна ( y' = -\frac{1}{x^2} ). Производная также должна быть равна ( k ): ( k = -\frac{1}{x^2} \implies k = -\frac{1}{\frac{1}{k}} \implies k = -k ) это верно только при ( k=0 ). Тогда ( k = -\frac{1}{x^2} \implies kx^2 = -1 ) при ( k \lt 0 ) касание невозможно. Если прямая проходит через выколотую точку ( (2, \frac{1}{2}) ): ( \frac{1}{2} = k \cdot 2 \implies k = \frac{1}{4} ). В точке (2,1/2) касания быть не может, так как это выколотая точка, но прямая может пройти через нее. Также прямая ( y = kx ) может совпадать с осью X, что соответствует ( k = 0 ). Это даст одну точку пересечения. Ответ: Значения ( k ), при которых прямая ( y = kx ) имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку: 0 и 1/4.