22. Тип 22 № 311559. Постройте график функции ( y = \(\frac{x - 2}\){\(\sqrt{x^2 - 2x}\)^2} ) и найдите все значения ( k ), при которых прямая ( y = kx ) имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Сначала упростим выражение для функции:
( y = \(\frac{x - 2}\){\(\sqrt{x^2 - 2x}\)^2} = \(\frac{x - 2}{x^2 - 2x}\) = \(\frac{x - 2}{x(x - 2)}\) ).

Сокращая дробь, при \(x \neq 2\) получим: \(y = \frac{1}{x}\).

Также необходимо учесть условие под корнем ( x^2 - 2x > 0 \(\implies\) x(x - 2) > 0 ), что выполняется при ( x < 0 ) или ( x > 2 ).

График функции \(y = \frac{1}{x}\) с выколотой точкой при ( x=2 ).

Прямая ( y = kx ) пересекает график функции \(y = \frac{1}{x}\) в одной точке, когда она касается гиперболы или если она проходит через выколотую точку.

Найдем точку касания. \(kx = \frac{1}{x} \implies kx^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{k} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{k}}\). Если подставить \(x = \frac{1}{\sqrt{k}}\) в уравнение ( y = kx ), то \(y = \sqrt{k}\). Вторая точка касания \(x = -\frac{1}{\sqrt{k}}, y = -\sqrt{k}\).

Производная \(y = \frac{1}{x}\) равна \(y' = -\frac{1}{x^2}\). Производная также должна быть равна ( k ): \(k = -\frac{1}{x^2} \implies k = -\frac{1}{\frac{1}{k}} \implies k = -k\) это верно только при ( k=0 ). Тогда \(k = -\frac{1}{x^2} \implies kx^2 = -1\) при \(k \lt 0\) касание невозможно.

Если прямая проходит через выколотую точку ( \(2, \frac{1}{2}\) ): \(\frac{1}{2} = k \cdot 2 \implies k = \frac{1}{4}\).

В точке (2,1/2) касания быть не может, так как это выколотая точка, но прямая может пройти через нее.

Также прямая ( y = kx ) может совпадать с осью X, что соответствует ( k = 0 ). Это даст одну точку пересечения.

Ответ: Значения ( k ), при которых прямая ( y = kx ) имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку: 0 и 1/4.