220. Биссектрисы пяти углов шестиугольника пересекаются в одной точке. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность.

Пусть внутренние биссектрисы углов при вершинах A, B, C, D, E пересекаются в точке O. Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.

1. Из принадлежности O биссектрисам углов A и B следует, что расстояния от O до прямых AB, BC и CD равны.
2. Так как O лежит и на биссектрисе угла C, расстояние от O до прямой DE равно расстоянию до CD.
3. Биссектрисы углов D и E аналогично показывают, что расстояния от O до EF и FA также равны этому расстоянию.
4. Следовательно, O равноудалена от всех шести прямых, содержащих стороны шестиугольника. Поскольку это внутренняя точка выпуклого шестиугольника, окружность с центром O и радиусом, равным расстоянию до любой его стороны, касается всех сторон.

Значит, в шестиугольник можно вписать окружность.