23. Найдите отношение квадратов двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 30° и 60°.

Пусть медиана равна m, а стороны, к которым она проведена, a и b. Пусть угол между стороной a и медианой равен 30°, а между стороной b и медианой равен 60°. Применим теорему косинусов к двум треугольникам, образованным медианой: Для первого треугольника: \[a^2 = m^2 + (\frac{c}{2})^2 - 2m(\frac{c}{2})cos(30^\circ)\] Для второго треугольника: \[b^2 = m^2 + (\frac{c}{2})^2 - 2m(\frac{c}{2})cos(60^\circ)\] Используем формулу медианы: \[4m^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2\] Пусть стороны будут a и b, а углы между медианой и этими сторонами 30 и 60 градусов соответственно. Применим теорему синусов: \[\frac{a}{\sin(30)} = \frac{b}{\sin(60)}\] \[\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2}\]\[2a = \frac{2b}{\sqrt{3}}\]\[a = \frac{b}{\sqrt{3}}\] Тогда: \[\frac{a^2}{b^2} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}\] Ответ: 1/3