23. Найдите отношение квадратов двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в 60° и 45°.

К сожалению, я не могу нарисовать здесь диаграмму, но я опишу шаги решения. Пусть треугольник будет ABC, где медиана BD выходит из вершины B и образует углы \(\angle ABD = 60^\circ\) и \(\angle CBD = 45^\circ\) со сторонами AB и BC соответственно. Обозначим AD = DC = m. Применим теорему синусов к треугольникам ABD и CBD: В треугольнике ABD: $$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}$$ $$\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{m}{\sin(60^\circ)}$$ В треугольнике CBD: $$\frac{BC}{\sin(\angle CDB)} = \frac{CD}{\sin(\angle CBD)}$$ $$\frac{BC}{\sin(\angle CDB)} = \frac{m}{\sin(45^\circ)}$$ Заметим, что \(\angle ADB\) и \(\angle CDB\) - смежные углы, следовательно, \(\sin(\angle ADB) = \sin(\angle CDB)\). Обозначим \(\sin(\angle ADB) = \sin(\angle CDB) = \sin(\alpha)\). Тогда: $$AB = \frac{m \sin(\alpha)}{\sin(60^\circ)}$$ $$BC = \frac{m \sin(\alpha)}{\sin(45^\circ)}$$ Нам нужно найти отношение \(\frac{AB^2}{BC^2}\): $$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{\left(\frac{m \sin(\alpha)}{\sin(60^\circ)}\right)^2}{\left(\frac{m \sin(\alpha)}{\sin(45^\circ)}\right)^2} = \frac{\sin^2(45^\circ)}{\sin^2(60^\circ)}$$ Известно, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим значения: $$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{\frac{2}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$$ Следовательно, отношение квадратов сторон равно \(\frac{2}{3}\). Ответ: 2/3