25. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, пересекаются в точке M. Известно, что ∠ABC = 84°, ∠BCD = 110°, ∠AMD = 68°. Найдите ∠ACD.

Привет! 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на дугу CD, следовательно \(\angle CAD = \angle CBD\). 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, углы \(\angle ACD\) и \(\angle ABD\) опираются на дугу AD, следовательно \(\angle ACD = \angle ABD\). 3. Сумма углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 360 градусов. Следовательно, \(\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ\) и \(\angle BCD + \angle BAD = 180^\circ\). 4. Найдем угол \(\angle BAD\): \(\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). 5. Найдем угол \(\angle CDA\): \(\angle CDA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ\). 6. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, \(\angle MAD + \angle MDA = 180^\circ - \angle AMD = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\). 7. Угол \(\angle MAD\) - это часть угла \(\angle BAD\), то есть \(\angle MAD = \angle BAD - \angle BAC\). Угол \(\angle MDA\) - это часть угла \(\angle CDA\), то есть \(\angle MDA = \angle CDA - \angle CDE\). 8. Заметим, что \(\angle BAC = \angle BDC\) (опираются на дугу BC) и \(\angle CAD = \angle CBD\) (опираются на дугу CD). 9. Обозначим \(\angle CAD = x\). Тогда \(\angle CBD = x\). 10. В треугольнике ABC: \(\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ\), следовательно \(\angle BAC + \angle ACB = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ\). 11. \(\angle ACB = \angle ACD + \angle BCD\). 12. Рассмотрим треугольник BCD: \(\angle CBD + \angle BDC + \angle BCD = 180^\circ\), следовательно \(\angle CBD + \angle BDC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\). 13. \(\angle MAD + \angle MDA = (\angle BAD - \angle BAC) + (\angle CDA - \angle BDC) = (70^\circ - \angle BAC) + (96^\circ - \angle BDC) = 112^\circ\). Значит, \(\angle BAC + \angle BDC = 70^\circ + 96^\circ - 112^\circ = 54^\circ\). 14. Поскольку \(\angle BAC = \angle BDC\), то \(\angle BAC = \angle BDC = 27^\circ\). 15. Угол \(\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 70^\circ - 27^\circ = 43^\circ\). 16. Рассмотрим треугольник ACD. \(\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ\), следовательно \(\angle ACD = 180^\circ - \angle CAD - \angle ADC\). Значит, \(\angle ACD = 180^\circ - 43^\circ - 96^\circ = 41^\circ\). Ответ: 41