23. Точка E делит сторону BC параллелограмма ABCD на отрезки с длинами 4 и 6, при этом AE = ED. Найдите отрезок AE, если AB = 5.

По рисунку \(BE=4\), \(EC=6\), поэтому \(BC=AD=10\). Пусть \(\vec{AB}=\mathbf b\), \(\vec{AD}=\mathbf d\). Тогда \(|\mathbf b|=5\), \(|\mathbf d|=10\), а \(\vec{AE}=\mathbf b+\frac25\mathbf d\).

1. Из условия \(AE=ED\) следует, что E лежит на серединном перпендикуляре к AD. Поэтому \(\vec{AE}\cdot\mathbf d=\frac{|\mathbf d|^2}{2}=50\).
2. Подставляя \(\vec{AE}=\mathbf b+\frac25\mathbf d\), получаем \(\mathbf b\cdot\mathbf d+40=50\), то есть \(\mathbf b\cdot\mathbf d=10\).
3. Вычисляем: \(AE^2=|\mathbf b+\frac25\mathbf d|^2=25+\frac4{25}\cdot100+\frac45\cdot10=49\). Следовательно, \(AE=7\).

Ответ: 7.