23) x + 11/x = 12;

Решение:

Чтобы решить это уравнение, сначала приведём его к стандартному виду квадратного уравнения.

1. Умножим обе части уравнения на \( x \), чтобы избавиться от знаменателя. Важно помнить, что \( x \) не должен быть равен нулю (\( x \neq 0 \)).

\[ x \cdot \left( x + \frac{11}{x} \right) = 12 \cdot x \]

\[ x^2 + 11 = 12x \]

2. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \).

\[ x^2 - 12x + 11 = 0 \]

3. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Здесь \( a = 1, b = -12, c = 11 \).

Способ 1: Разложение на множители

Ищем два числа, произведение которых равно 11, а сумма равна 12. Это числа 1 и 11.

Тогда уравнение можно записать как:

\( (x - 1)(x - 11) = 0 \)

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем корни:

\( x - 1 = 0 \rightarrow x_1 = 1 \)

\( x - 11 = 0 \rightarrow x_2 = 11 \)

Оба корня \( x=1 \) и \( x=11 \) не равны нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Способ 2: Через дискриминант

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 144 - 44 = 100 \).

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 10}{2} \]

\( x_1 = \frac{12 + 10}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)

\( x_2 = \frac{12 - 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Оба корня \( x=11 \) и \( x=1 \) не равны нулю, поэтому они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 11.