238. При каком наименьшем натуральном значении a выражение 2n³ + an делится на 6?

Предполагается, что делимость требуется при любом целом n.

Подставим \(n=1\): необходимо, чтобы \(2+a\) делилось на 6, то есть \(a\equiv4\pmod6\). Наименьшее натуральное значение, удовлетворяющее этому условию, — 4.

Проверим достаточность: при \(a=4\) получаем \(2n^3+4n\). Это число чётное. Кроме того, \(n^3\equiv n\pmod3\), поэтому \(2n^3+4n\equiv2n+n=3n\\equiv0\pmod3\). Следовательно, выражение делится и на 2, и на 3, а значит, на 6.

Ответ: 4.