241. Докажите, что уравнение не имеет целых корней: а) 5x⁴ − 10x² + 25x − 63 = 0; б) 3x⁴ + 12x³ + 27x − 61 = 0.

а) Рассмотрим уравнение по модулю 5. Все слагаемые, кроме −63, делятся на 5, а \(-63\equiv2\pmod5\). Левая часть не может равняться нулю. Значит, целых корней нет.

б) Рассмотрим уравнение по модулю 3. Первые три слагаемых делятся на 3, а \(-61\equiv2\pmod3\). Левая часть не может равняться нулю. Значит, целых корней нет.