24. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac13x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac14x^2+x-1\); в) \(y=x^2+3x\).

Для каждой функции используем вид параболы и координаты вершины. Вершина находится по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\), затем вычисляем \(y_0\).

а) \(y=\frac13(x-6)^2-8\). Вершина \((6;-8)\), ось симметрии \(x=6\), ветви направлены вверх. Область определения: \(\mathbb R\); область значений: \([-8;+\infty)\). Убывает при \(x\le6\), возрастает при \(x\ge6\). Нули: \(x=6\pm2\sqrt6\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0;4)\).

Для построения можно отметить вершину и симметричные точки: \((0;4),(3;-5),(6;-8),(9;-5),(12;4)\).

б) \(y=-\frac14(x-2)^2\). Вершина \((2;0)\), ось симметрии \(x=2\), ветви направлены вниз. Область определения: \(\mathbb R\); область значений: \((-\infty;0]\). Возрастает при \(x\le2\), убывает при \(x\ge2\). Единственный нуль — \(x=2\); график касается оси \(Ox\) в точке \((2;0)\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0;-1)\).

Точки для построения: \((-2;-4),(0;-1),(2;0),(4;-1),(6;-4)\).

в) \(y=(x+\frac32)^2-\frac94\). Вершина \((-\frac32;-\frac94)\), ось симметрии \(x=-\frac32\), ветви направлены вверх. Область определения: \(\mathbb R\); область значений: \([-\frac94;+\infty)\). Убывает при \(x\le-\frac32\), возрастает при \(x\ge-\frac32\). Нули: \(x=-3\) и \(x=0\). Пересечение с осью \(Oy\): \((0;0)\).

Точки для построения: \((-4;4),(-3;0),(-2;-2),(-1;-2),(0;0),(1;4)\).