24 Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и соответственно, АВ = 9, AC = 18, MN = 8. Найдите АМ.

Задание 24. Подобие треугольников

Дано:

• Треугольник ABC.
• Прямая MN || AC.
• M ∈ AB, N ∈ BC.
• \( AB = 9 \).
• \( AC = 18 \).
• \( MN = 8 \).

Найти: \( AM \).

Решение:

1. Так как прямая MN параллельна стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC (по двум углам: \( \angle B \) — общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).
2. Из подобия треугольников следует соотношение сторон: \[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]
3. Подставим известные значения: \[ \frac{BM}{9} = \frac{BN}{BC} = \frac{8}{18} \]
4. Вычислим коэффициент подобия: \( k = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \).
5. Теперь найдём длину отрезка BM: \[ \frac{BM}{9} = \frac{4}{9} \implies BM = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4 \].
6. Нам нужно найти AM. AM = AB - BM.
7. \( AM = 9 - 4 = 5 \).

Ответ: 5