24. Точка \(M\) — середина боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\). Докажите, что площадь треугольника \(ABM\) равна половине площади трапеции.

Обозначим через \(h\) высоту трапеции, а её параллельные основания — через \(AD=a\) и \(BC=b\). Боковые стороны — \(AB\) и \(CD\), поэтому \(AD\parallel BC\).

1. Разместим трапецию в координатах: \(A=(0,0)\), \(D=(a,0)\), \(B=(u,h)\), \(C=(u+b,h)\). Тогда середина \(CD\) имеет координаты \(M=\left(\frac{a+u+b}{2},\frac h2\right)\).

2. Площадь треугольника \(ABM\), вычисленная по координатам, равна \(\frac12\left|u\cdot\frac h2-h\cdot\frac{a+u+b}{2}\right|=\frac{h(a+b)}4\).

3. Площадь трапеции равна \(S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}\). Следовательно, \(S_{ABM}=\frac12S_{ABCD}\).

Что и требовалось доказать.