25. Четырёхугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=11\) и \(CD=5\) вписан в окружность. Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(K\), причём угол \(AKB\) равен \(60^\circ\). Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Обозначим через \(\alpha\) и \(\beta\) центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды \(AB\) и \(CD\), с выбором дуг, отсекаемых углом \(AKB\). По теореме об угле между пересекающимися хордами \(\alpha+\beta=2\cdot60^\circ=120^\circ\).

Пусть радиус окружности равен \(R\). По формуле хорды:

\(11=2R\sin\frac\alpha2,\qquad 5=2R\sin\frac\beta2\).

Положим \(u=\frac\alpha2\), \(v=\frac\beta2\). Тогда \(u+v=60^\circ\). Обозначив \(q=2R\), получаем \(\sin u=11/q\), \(\sin v=5/q\). Из формулы косинуса суммы:

\(\frac12=\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v\).

Следовательно, \(\sqrt{(1-121/q^2)(1-25/q^2)}-55/q^2=1/2\). После возведения в квадрат и сокращения получаем \(q^2=268\). Значит, \(R=q/2=\sqrt{67}\).

Ответ: \(\sqrt{67}\).