24. В трапеции ATDK с основаниями AK и TD диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что площади треугольников APT и DPK равны.

Рассмотрим треугольники \(APT\) и \(DPK\).

У них \(\angle APT=\angle DPK\) как вертикальные углы. Кроме того, \(\angle ATP=\angle DPK\) и \(\angle APT=\angle DPK\) с учётом параллельности оснований \(AK\parallel TD\), поэтому треугольники подобны.

При пересечении диагоналей трапеции отношения соответствующих частей диагоналей равны отношению оснований. С учётом равенства основанийных высот получаем равенство произведений «основание × высота» для данных треугольников.

Следовательно, \(S_{APT}=S_{DPK}\).

Ответ: площади треугольников равны.