25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 8 и CD = 2 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Обозначим через \(\alpha\) и \(\beta\) центральные углы, опирающиеся на хорды AB и CD. Для пересекающихся хорд \(\angle AKB=\frac{\alpha+\beta}{2}\), поэтому \(\alpha+\beta=120^\circ\).

Положим \(a=\frac\alpha2\), \(b=\frac\beta2\). Тогда \(a+b=60^\circ\). По формуле хорды:

\(8=2R\sin a\), \(2=2R\sin b\). Следовательно, \(\sin a=4\sin b\).

Подставим \(a=60^\circ-b\): \(\sin(60^\circ-b)=4\sin b\), откуда \(\frac{\sqrt3}{2}\cos b=\frac92\sin b\), то есть \(\tan b=\frac{\sqrt3}{9}\). Значит, \(\sin b=\frac1{2\sqrt7}\).

Из \(2=2R\sin b\) получаем \(R=\sqrt7\cdot2=2\sqrt7\).

Ответ: \(2\sqrt7\).