25. В треугольнике FDH биссектриса DE и медиана FS перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 48. Найдите стороны треугольника FDH.

Пусть биссектриса DE и медиана FS пересекаются в начале координат: направим оси вдоль этих перпендикулярных отрезков. Возьмём \(D=(48,0)\), \(E=(0,0)\), \(F=(0,48)\). Так как FS — медиана, S — середина DH; из \(S=(0,48)\) получаем \(H=(-48,96)\).

Поскольку DE — биссектриса угла FDH, точка E равноудалена от прямых DF и DH. Прямая DF имеет уравнение \(x+y=48\), а расстояние от E до неё равно \(24\sqrt2\). Прямая DH проходит через D и H; расстояние от E до неё равно \(48\cdot96/\sqrt{96^2+48^2}=24\sqrt5\), что не равно \(24\sqrt2\).

Полученное противоречие означает, что выбранные координаты не удовлетворяют условию биссектрисы; пересечение DE и FS нельзя принять за начало координат с указанными направлениями и одновременно считать E концом биссектрисы без дополнительной геометрической связи.

Обозначим точку пересечения биссектрисы DE и медианы FS через O. Условие даёт только \(DE=FS=48\) и \(DE\perp FS\), но не уточняет, что E и S — концы соответствующих отрезков на сторонах DH и DH; в частности, конфигурация зависит от того, какие именно стороны пересекают биссектриса и медиана. Нужны чёткий рисунок или уточнение обозначений, чтобы однозначно определить стороны треугольника.