27.4. Диагональ АС ромба ABCD равна 16, а tgBCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно знать, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Также нам понадобится формула радиуса вписанной окружности в ромб: \( r = \frac{d_1 \cdot d_2}{4a} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали, а \( a \) — сторона ромба.

1. Находим половину диагонали AC: \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
2. Находим сторону AB (или BC, CD, AD, так как это ромб): В прямоугольном треугольнике BOC, \( tg \angle BCA = \frac{BO}{OC} \). Отсюда \( BO = OC \cdot tg \angle BCA = 8 \cdot 0.75 = 6 \).
3. Находим диагональ BD: \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12 \).
4. Находим сторону ромба AB: По теореме Пифагора в треугольнике BOC: \( AB^2 = OC^2 + BO^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \). Следовательно, \( AB = \sqrt{100} = 10 \).
5. Находим радиус вписанной окружности: \( r = \frac{AC \cdot BD}{4 \cdot AB} = \frac{16 \cdot 12}{4 \cdot 10} = \frac{192}{40} = 4.8 \).

Ответ: 4.8