279. d) f(x) = 5x^3 - 3x + 1

Краткое пояснение:

Для определения промежутков возрастания и убывания кубической функции необходимо найти её производную и проанализировать её знаки.

Пошаговое решение:

Найдем производную функции \( f(x) = 5x^3 - 3x + 1 \):

\( f'(x) = (5x^3 - 3x + 1)' = 15x^2 - 3 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 15x^2 - 3 = 0 \)

\( 15x^2 = 3 \)

\( x^2 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \)

\( x = ± \sqrt{\frac{1}{5}} = ± \frac{1}{\sqrt{5}} = ± \frac{\sqrt{5}}{5} \).

Критические точки: \( x_1 = -\frac{\sqrt{5}}{5} \) и \( x_2 = \frac{\sqrt{5}}{5} \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -\frac{\sqrt{5}}{5} \) (например, x = -1), \( f'(-1) = 15(-1)^2 - 3 = 15 - 3 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -\frac{\sqrt{5}}{5} < x < \frac{\sqrt{5}}{5} \) (например, x = 0), \( f'(0) = 15(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > \frac{\sqrt{5}}{5} \) (например, x = 1), \( f'(1) = 15(1)^2 - 3 = 15 - 3 = 12 > 0 \). Функция возрастает.

Промежутки возрастания: \( (-\infty; -\frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}; +\infty) \)

Промежутки убывания: \( (- \frac{\sqrt{5}}{5}; \frac{\sqrt{5}}{5}) \)