281. a) f(x) = 12x + 3x^2 - 2x^3

Краткое пояснение:

Для определения промежутков возрастания и убывания кубической функции необходимо найти её производную и проанализировать её знаки.

Пошаговое решение:

Перепишем функцию в стандартном виде: \( f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x \).

Найдем производную функции:

\( f'(x) = (-2x^3 + 3x^2 + 12x)' = -6x^2 + 6x + 12 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -6x^2 + 6x + 12 = 0 \)

Разделим на -6:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение (по теореме Виета или через дискриминант):

\( (x-2)(x+1) = 0 \)

Критические точки: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -1 \) (например, x = -2), \( f'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -6(4) - 12 + 12 = -24 < 0 \). Функция убывает.
• При \( -1 < x < 2 \) (например, x = 0), \( f'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 2 \) (например, x = 3), \( f'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -6(9) + 18 + 12 = -54 + 30 = -24 < 0 \). Функция убывает.

Промежутки возрастания: \( (-1; 2) \)

Промежутки убывания: \( (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \)