281. b) f(x) = x(x^2 - 12)

Краткое пояснение:

Сначала раскроем скобки, чтобы получить многочлен, а затем найдем производную для определения промежутков возрастания и убывания.

Пошаговое решение:

Раскроем скобки: \( f(x) = x · x^2 - x · 12 = x^3 - 12x \).

Найдем производную функции:

\( f'(x) = (x^3 - 12x)' = 3x^2 - 12 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 12 = 0 \)

\( 3x^2 = 12 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = ± 2 \).

Критические точки: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 2 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < -2 \) (например, x = -3), \( f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2 < x < 2 \) (например, x = 0), \( f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 2 \) (например, x = 3), \( f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.

Промежутки возрастания: \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \)

Промежутки убывания: \( (-2; 2) \)