281. d) f(x) = 3/x^2

Краткое пояснение:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти её производную и проанализировать её знаки. Необходимо учесть область определения функции.

Пошаговое решение:

Область определения функции: \( x ≠ 0 \).

Перепишем функцию: \( f(x) = 3x^{-2} \).

Найдем производную функции:

\( f'(x) = (3x^{-2})' = 3 · (-2)x^{-3} = -6x^{-3} = -\frac{6}{x^3} \).

Приравняем производную к нулю:

\( -\frac{6}{x^3} = 0 \).

Это уравнение не имеет решений, так как числитель никогда не равен нулю.

Значит, знаки производной меняются при переходе через ноль (который не входит в область определения).

Определим знаки производной на интервалах:

• При \( x < 0 \) (например, x = -1), \( f'(-1) = -\frac{6}{(-1)^3} = -\frac{6}{-1} = 6 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( x > 0 \) (например, x = 1), \( f'(1) = -\frac{6}{(1)^3} = -\frac{6}{1} = -6 < 0 \). Функция убывает.

Промежутки возрастания: \( (-\infty; 0) \)

Промежутки убывания: \( (0; +\infty) \)