28. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB = 8, AD = 6, AA₁ = 21. Найдите синус угла между прямыми CD₁ и A₁C₁.

Зададим направления прямых векторами: \(\overrightarrow{CD_1}=(-8,0,21)\), \(\overrightarrow{A_1C_1}=(8,6,0)\). Длины векторов равны \(\sqrt{505}\) и 10.

Модуль их векторного произведения равен \(\sqrt{(-126)^2+168^2+(-48)^2}=6\sqrt{1289}\). Синус угла между прямыми равен отношению этой величины к произведению длин векторов:

\(\sin\varphi=\dfrac{6\sqrt{1289}}{10\sqrt{505}}=\dfrac{3\sqrt{1289}}{5\sqrt{505}}.\)

Ответ: \(\dfrac{3\sqrt{1289}}{5\sqrt{505}}\).