290. Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной l, и одной из сторон основания равен φ. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен θ. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

Обозначим выбранную сторону основания через a, другую сторону — через b, высоту — через h, а пространственную диагональ — через D.

1. В прямоугольном основании диагональ длины l образует с выбранной стороной угол φ, поэтому \(a=l\cos\varphi\), \(b=l\sin\varphi\).
2. Угол между стороной a и пространственной диагональю равен θ, поэтому \(\cos\theta=\frac{a}{D}\), откуда \(D=\frac{l\cos\varphi}{\cos\theta}\).
3. По теореме Пифагора \(D^2=l^2+h^2\), следовательно, \(h=l\sqrt{\frac{\cos^2\varphi}{\cos^2\theta}-1}\).
4. Площадь боковой поверхности равна периметру основания, умноженному на высоту: \(S_{\text{бок}}=2(a+b)h\).

Подставляя найденные выражения, получаем:

\(S_{\text{бок}}=2l^2(\cos\varphi+\sin\varphi)\sqrt{\frac{\cos^2\varphi}{\cos^2\theta}-1}\).

Ответ: \(S_{\text{бок}}=2l^2(\cos\varphi+\sin\varphi)\sqrt{\frac{\cos^2\varphi}{\cos^2\theta}-1}\).