291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол φ, а с одной из сторон основания — угол θ. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим стороны основания через a и b, а высоту — через h.

1. Проекция пространственной диагонали на плоскость основания имеет длину \(d\cos\varphi\), а её перпендикулярная составляющая равна высоте: \(h=d\sin\varphi\).
2. Угол между диагональю и одной стороной основания равен θ. Эта сторона является проекцией диагонали на своё направление, поэтому \(a=d\cos\theta\).
3. Диагональ основания, стороны которого перпендикулярны, удовлетворяет равенству \(a^2+b^2=d^2\cos^2\varphi\). Значит, \(b=d\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\).
4. Площадь боковой поверхности равна \(2(a+b)h\). Подставляя выражения для сторон и высоты, получаем \(S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right)\).

Ответ: \(S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right)\).