291. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная \(d\), образует с плоскостью основания угол \(\varphi\), а с одной из сторон основания — угол \(\theta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Обозначим сторону основания, с которой диагональ образует угол \(\theta\), через \(a\), другую сторону основания — через \(b\), высоту — через \(h\). Проекция пространственной диагонали на основание имеет длину \(d\cos\varphi\), а её перпендикулярная составляющая равна \(h=d\sin\varphi\).

Угол между диагональю и стороной \(a\) даёт \(a=d\cos\theta\). Диагональ основания, по теореме Пифагора, равна \(d\cos\varphi\), поэтому

\(b=\sqrt{(d\cos\varphi)^2-a^2}=d\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}.\)

Площадь боковой поверхности равна \(2h(a+b)\). Подставляя найденные величины, получаем:

\(S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right).\)

Ответ: \(S_{\text{бок}}=2d^2\sin\varphi\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\varphi-\cos^2\theta}\right)\).