3.1. Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Обязательно ли они задумали одинаковые числа?

Нет. Например, Вася мог задумать 19, а Петя — 20:

\(19+(1+9)=29\), а \(20+(2+0)=22\) — эти результаты не равны. Возьмём вместо этого числа 18 и 20: \(18+9=27\), \(20+2=22\), тоже не равны.

Подходящий пример: 19 и 28. Для 19 получается \(19+10=29\), для 28 — \(28+10=38\), также не равны. Следовательно, чтобы ответить на вопрос, нужен пример с одинаковыми результатами: 29 и 38 дают \(29+11=40\), \(38+11=49\).

Утверждение, однако, неверно: числа 9 и 10 дают соответственно 18 и 11, а числа 18 и 19 дают 27 и 29. Эти проверки не устанавливают обратное утверждение; из условия равенства сумм следует только, что числа не обязательно равны, если удаётся привести совпадение.

В записи задачи не указан дополнительный диапазон чисел; среди натуральных чисел функция «число плюс сумма его цифр» может принимать одинаковые значения для разных чисел, например: \(199+19=218\), \(209+11=220\) — здесь совпадения нет. Нужен корректный контрпример; приведённые вычисления его не дают.