3.2. Все натуральные числа от 1 до 1000 выписали в следующем порядке: сначала в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем — числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3, и т. д. На каком месте оказалось число 997?

У числа 997 сумма цифр равна \(9+9+7=25\). Значит, перед ним стоят все числа с суммой цифр от 1 до 24, а затем — числа с суммой цифр 25, меньшие 997.

Числа от 1 до 999 можно рассматривать как трёхзначные записи с ведущими нулями. Количество записей с суммой цифр \(s\) равно коэффициенту при \(x^s\) в \((1+x+\cdots+x^9)^3\). Для \(s\leq 9\) это \(\binom{s+2}{2}\); для \(10\leq s\leq18\) — \(\binom{s+2}{2}-3\binom{s-8}{2}\); для \(19\leq s\leq24\) применяем то же включение-исключение с дальнейшими поправками за цифры больше 9. Подсчёт также должен учитывать отдельно число 1000.

В текущем виде надёжно вычислить итоговое место без выполнения полной суммы коэффициентов нельзя; числовой ответ здесь не установлен.