Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3.13. Решите неравенства: 1) \(9^{x+1}-2\cdot3^x-7\le0\); 2) \(2^x+2^{x/2}-72\ge0\); 3) \((1/4)^x-3\cdot(1/2)^x+2>0\); 4)…Фото задания

Ответ:

  1. Пусть \(t=3^x>0\). Тогда \(9t^2-2t-7\le0\), откуда \((t-1)(9t+7)\le0\), то есть \(t\le1\). Следовательно, \(x\le0\).
  2. Пусть \(t=2^{x/2}>0\). Тогда \(t^2+t-72\ge0\), то есть \((t+9)(t-8)\ge0\). Значит, \(t\ge8\), откуда \(x\ge6\).
  3. Пусть \(t=(1/2)^x>0\). Получаем \(t^2-3t+2>0\), то есть \((t-1)(t-2)>0\). Поэтому \(t<1\) или \(t>2\), что даёт \(x>0\) или \(x<-1\).
  4. Пусть \(t=5^x>0\). Тогда \(t^2-26t+25\le0\), то есть \((t-1)(t-25)\le0\). Значит, \(1\le t\le25\), поэтому \(0\le x\le2\).

Ответ: 1) \((-\infty;0]\); 2) \([6;+\infty)\); 3) \((-\infty;-1)\cup(0;+\infty)\); 4) \([0;2]\).