3.18. Найдите множество решений неравенств: 1) $3^x-9\cdot3^{-x}-8>0$; 2) $2^{x+3}+2^{1-x}<17$; 3) $6^{x+2}+6^{-x}-37\ge0$; 4) $(3/5)^{x+1}+(3/5)^{1-x}\le6/5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3.18. Найдите множество решений неравенств: 1) $3^x-9\cdot3^{-x}-8>0$; 2) $2^{x+3}+2^{1-x}<17$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $t=3^x>0$. Умножаем неравенство на $t$: $t^2-8t-9>0$, то есть $(t-9)(t+1)>0$. Поэтому $t>9$, откуда $x>2$.
Пусть $t=2^x>0$. Тогда $8t+2/t<17$. Умножаем на $t>0$: $8t^2-17t+2<0$, или $(8t-1)(t-2)<0$. Значит, \(1/8
Пусть $t=6^x>0$. Получаем $36t+1/t-37\ge0$, то есть $(36t-1)(t-1)\ge0$. Поэтому $t\le1/36$ или $t\ge1$, откуда $x\le-2$ или $x\ge0$.
Пусть $t=(3/5)^x>0$. Тогда $(3/5)(t+1/t)\le6/5$, то есть $t+1/t\le2$. Поскольку $t+1/t\ge2$, равенство возможно только при $t=1$. Значит, $x=0$.

Ответ: 1) $(2;+\infty)$; 2) $(-3;1)$; 3) $(-\infty;-2]\cup[0;+\infty)$; 4) $\{0\}$.

3.18. Найдите множество решений неравенств: 1) \(3^x-9\cdot3^{-x}-8>0\); 2) \(2^{x+3}+2^{1-x}<17\); 3) \(6^{x+2}+6^{-x}-37\ge0\); 4) \((3/5)^{x+1}+(3/5)^{1-x}\le6/5\).