3. ABCD A₁B₁C₁D₁ — куб. Найдите ∠(A₁B, DC₁).

Обозначим ребро куба через a и зададим координаты: A(0; 0; 0), B(0; a; 0), D(a; 0; 0), A₁(0; 0; a), C₁(a; a; a).

Направляющие векторы прямых: A₁B = (0; a; −a), DC₁ = (0; a; a). Их скалярное произведение равно 0·0 + a·a − a·a = 0. Значит, прямые перпендикулярны.

Ответ: 90°.