8. DABC — правильный тетраэдр, AD = 4. Проведите сечение через DM и параллельно AC. Найдите Sсечения. По рисунку M — середина AB.

Плоскость сечения проходит через D и M и параллельна AC. Она пересекает BC в точке N; поскольку MN ∥ AC и M — середина AB, по теореме о средней линии треугольника ABC точка N — середина BC. Сечение — треугольник DMN.

В равностороннем треугольнике DAB со стороной 4 медиана DM равна √(4² − 2²) = 2√3. Аналогично DN = 2√3, а MN = AC/2 = 2. Высота треугольника DMN к MN равна √((2√3)² − 1²) = √11. Тогда площадь равна (1/2) · 2 · √11 = √11.

Ответ: Sсечения = √11.