7. MABCD — правильная пирамида, AD = AM = 2. Найдите ∠(DE, BM).

По рисунку принимаем, что E — середина MC.

Пусть O — центр квадратного основания. Тогда OA = √2, а из прямоугольного треугольника MOA: MO = √(AM² − OA²) = √2.

Введём координаты: A(−1; −1; 0), B(1; −1; 0), C(1; 1; 0), D(−1; 1; 0), M(0; 0; √2). Тогда E — середина MC, поэтому E(1/2; 1/2; √2/2).

Направляющие векторы DE и BM можно взять равными (3/2; −1/2; √2/2) и (−1; 1; √2). Их скалярное произведение равно −1, а длины равны √3 и 2. Для угла между прямыми берём острый угол, поэтому cos φ = 1/(2√3) = √3/6.

Ответ: ∠(DE, BM) = arccos(√3/6) ≈ 73,2°.