3. ABCD — трапеция, диагонали AC и BD пересекаются в точке O; AO = OD. Доказать: AB = CD.

В трапеции основания BC и AD параллельны, поэтому треугольники AOD и COB подобны. Из подобия следует:

AO/OC = DO/OB.

Так как AO = DO, получаем OC = OB. Значит, AC = AO + OC и BD = DO + OB равны.

Трапеция с равными диагоналями равнобедренная, следовательно, её боковые стороны равны: AB = CD.

Доказано.