3) б) \( 4 - a^2 - 2a(4-a^2) + a^2(4-a^2) \)

Привет! Давай разложим это выражение на множители.

У нас есть:

\[ 4 - a^2 - 2a(4-a^2) + a^2(4-a^2) \]

Шаг 1: Выносим общий множитель

Заметим, что \( (4-a^2) \) — это общий множитель для второго и третьего слагаемых. Давайте его вынесем:

\[ (4-a^2) [1 - 2a + a^2] \]

Шаг 2: Узнаем формулу в скобках

Теперь посмотрим на выражение в квадратных скобках: \( 1 - 2a + a^2 \). Это можно переписать как \( a^2 - 2a + 1 \), что является формулой квадрата разности:

\[ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

В нашем случае, \( a \) (из формулы) — это \( a \) (из выражения), а \( b \) (из формулы) — это \( 1 \).

Значит, \( 1 - 2a + a^2 \) можно свернуть как \( (a-1)^2 \).

Шаг 3: Работаем с первым множителем

Теперь посмотрим на первый множитель \( 4 - a^2 \). Это же разность квадратов!

\[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]

В нашем случае, \( a=2 \) и \( b=a \). Так что:

\[ 4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2-a)(2+a) \]

Шаг 4: Собираем всё вместе

Теперь объединим все разложенные части:

\[ (2-a)(2+a)(a-1)^2 \]

Важное замечание:

Иногда удобнее, чтобы коэффициент при \( a \) в квадрате был положительным. Заметим, что \( (2-a) = -(a-2) \). Тогда наше выражение можно записать как:

\[ -(a-2)(a+2)(a-1)^2 \]

Или, если мы хотим, чтобы \( (a-1)^2 \) было \( (1-a)^2 \) (что одно и то же), можно записать так:

\[ (2-a)(a+2)(a-1)^2 \]

Ответ:

Разложенное на множители выражение:

\[ (2-a)(2+a)(a-1)^2 \]