4) б) \( 8a^3 - b^3 + 4a^2 - 4ab + b^2 \)

Привет! Давай попробуем разложить это выражение на множители.

У нас есть:

\[ 8a^3 - b^3 + 4a^2 - 4ab + b^2 \]

Шаг 1: Анализ выражения

Смотрим на выражение. У нас есть \( 8a^3 - b^3 \) — это разность кубов, которая раскладывается как \( (2a-b)(4a^2+2ab+b^2) \).

Остается часть: \( + 4a^2 - 4ab + b^2 \).

Шаг 2: Ищем квадраты

Эта оставшаяся часть \( 4a^2 - 4ab + b^2 \) очень похожа на формулу квадрата разности:

\[ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]

Давайте проверим:

• \( x^2 = 4a^2 \implies x = 2a \)
• \( y^2 = b^2 \implies y = b \)
• \( 2xy = 2 · (2a) · b = 4ab \)

Все сходится! Значит, \( 4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2 \).

Шаг 3: Объединяем части

Теперь у нас есть:

\[ (8a^3 - b^3) + (4a^2 - 4ab + b^2) \]

Подставляем разложенные части:

\[ (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2) + (2a - b)^2 \]

Шаг 4: Выносим общий множитель

Видим, что \( (2a - b) \) — это общий множитель. Вынесем его за скобки:

\[ (2a - b) [ (4a^2 + 2ab + b^2) + (2a - b) ] \]

Шаг 5: Упрощаем выражение в скобках

Теперь упростим то, что осталось внутри квадратных скобок:

\[ 4a^2 + 2ab + b^2 + 2a - b \]

Это выражение уже не раскладывается на простые множители.

Ответ:

Разложенное на множители выражение:

\[ (2a - b)(4a^2 + 2ab + b^2 + 2a - b) \]